Để xác định hàm số nào nghịch biến trên \( \mathbb{R} \), ta cần kiểm tra dấu của đạo hàm của hàm số đó. Hàm số nghịch biến trên \( \mathbb{R} \) nếu đạo hàm của nó luôn âm trên toàn bộ miền số thực.
**Xét từng hàm số:**
1. **Hàm số \( y = x^3 - 3x + 2 \):**
Đạo hàm là:
\[
y' = 3x^2 - 3 = 3(x^2 - 1) = 3(x - 1)(x + 1)
\]
Đạo hàm này có thể dương hoặc âm tùy thuộc vào giá trị của \( x \). Vì vậy, hàm số không phải lúc nào cũng nghịch biến.
2. **Hàm số \( y = x^4 + 2x^2 + 2 \):**
Đạo hàm là:
\[
y' = 4x^3 + 4x = 4x(x^2 + 1)
\]
Đạo hàm này có thể dương hoặc âm tùy thuộc vào giá trị của \( x \). Vì vậy, hàm số không phải lúc nào cũng nghịch biến.
3. **Hàm số \( y = -x^3 + 2x^2 - 4x + 1 \):**
Đạo hàm là:
\[
y' = -3x^2 + 4x - 4
\]
Ta cần phân tích dấu của đạo hàm này. Để làm điều này, ta có thể giải phương trình:
\[
-3x^2 + 4x - 4 = 0
\]
Giải phương trình bậc 2 này, ta có:
\[
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{-4 \pm \sqrt{16 - 4(-3)(-4)}}{-6} = \frac{-4 \pm \sqrt{16 - 48}}{-6} = \frac{-4 \pm \sqrt{-32}}{-6}
\]
Vì \(\sqrt{-32}\) là số ảo, phương trình không có nghiệm thực. Do đó, đạo hàm \( y' = -3x^2 + 4x - 4 \) luôn có dấu âm trên toàn bộ miền số thực.
4. **Hàm số \( y = -x^3 - 2x^2 + 5x - 2 \):**
Đạo hàm là:
\[
y' = -3x^2 - 4x + 5
\]
Ta cần phân tích dấu của đạo hàm này. Để làm điều này, ta có thể giải phương trình:
\[
-3x^2 - 4x + 5 = 0
\]
Giải phương trình bậc 2 này, ta có:
\[
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{-(-4) \pm \sqrt{(-4)^2 - 4(-3)(5)}}{2(-3)} = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 60}}{-6} = \frac{4 \pm \sqrt{76}}{-6}
\]
Từ đây, phương trình có nghiệm thực, cho thấy rằng đạo hàm có thể thay đổi dấu. Do đó, hàm số không phải lúc nào cũng nghịch biến.
**Kết luận:**
Hàm số **\( y = -x^3 + 2x^2 - 4x + 1 \)** (mệnh đề C) là hàm số nghịch biến trên \( \mathbb{R} \) vì đạo hàm của nó luôn âm trên toàn bộ miền số thực.