Trong Toán học, số nguyên bao gồm tập hợp các số không, số tự nhiên (số nguyên dương) và đối của chúng (số nguyên âm).

Tập hợp các số nguyên là vô hạn và đếm được. Kí hiệu tập hợp các số nguyên là Z.

2. Phân loại số nguyên:

Số nguyên được phân thành hai loại: số nguyên dương và số nguyên âm. Bên trong:

Số nguyên dương: là số nguyên lớn hơn 0 và được ký hiệu là Z+.

Số nguyên âm: là số nguyên nhỏ hơn 0 và được ký hiệu là Z-.

Tập hợp các số nguyên dương hoặc âm ở trên không bao gồm số không.

Ví dụ:

Các số nguyên dương bao gồm: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8…

Số nguyên âm bao gồm: -1, -2, -3, -4, -5, -6, -7, -8…

Các số 1; 5; 67; – 94; – 978 là số nguyên – 26 ∈ Z ; 0Z

3. Số 0 có phải số nguyên không?

Như đã nói, số 0 là một số đặc biệt trong tập hợp các số nguyên vì nó nằm giữa tập hợp các số nguyên âm và tập hợp các số nguyên dương nhưng không phải là giao của hai tập hợp này và cũng không thuộc tập hợp nào trong hai tập hợp này. 

Khi biểu diễn trên trục số nằm ngang, tập hợp các số nguyên dương sẽ nằm bên phải điểm 0, tập hợp các số nguyên âm sẽ bao gồm các số nằm bên trái điểm 0. Các tập hợp số này là vô hạn, được biểu diễn bởi một đoạn thẳng. có một điểm cuối với hướng mũi tên từ trái sang phải được xác định là dương. Khi đó, điểm 0 là gốc của trục số, ở giữa trục số, ngăn cách các số nguyên âm và số nguyên dương.

Ngoài ra, trục số có thể được vẽ thẳng đứng theo chiều dọc. Sau đó:

– Chiều dương từ dưới lên trên (được đánh dấu bằng mũi tên)

– Điểm gốc của trục số là điểm 0 ở giữa trục số (biểu diễn số 0)

– Đơn vị đo độ dài trên trục số là độ dài đoạn thẳng nối điểm 0 với điểm 1 (biểu diễn số 1 và nằm trên điểm 0).

Từ gốc tọa độ 0 ta sinh ra khái niệm các mặt đối nhau. Hai số được gọi là đối nhau khi chúng nằm về hai phía của điểm 0 và cách đều 0 trên trục số (tính theo đơn vị).

Tự nhiên:

– Số đối của số nguyên dương là số nguyên âm

Số đối của số nguyên âm là số nguyên dương.

Số đối của 0 là 0.

Để viết số đối của một số nguyên dương, ta chỉ cần đặt dấu “-” trước số đó. Ngược lại, khi viết số đối của số nguyên âm, bạn chỉ cần bỏ dấu “-” trước số đó. Ví dụ cụ thể:

– Số đối của 1 là -1

– Số đối của 2 là -2

– Số đối của 3 là -3

– Số đối của -4 là 4

– đối của -5 là 5

– Số đối của -6 là 6

– Số đối của 0 là 0 (trường hợp đặc biệt).

Khi đó ta có thể nói, tập hợp các số tự nhiên (N) và các số đối của nó lập thành tập hợp các số nguyên.

4. Tính chất của số nguyên:

Số nguyên có các tính chất sau đây:

Thứ nhất, Số nguyên tố chẵn nhỏ nhất và duy nhất là 2.

Thứ hai, Không có giới hạn về số lượng số nguyên tố. Nói cách khác, tập hợp các số nguyên tố là vô hạn.

Thứ ba, Khi bạn nhân hai số nguyên tố, tích không thể là số chính phương.

Thứ tư, Ước số tự nhiên nhỏ nhất khác 1 của một số tự nhiên được gọi là số nguyên tố.

Thứ năm, Ước nhỏ nhất là một số dương khác 1 trong bất kỳ tập hợp số A nào là số nguyên tố nếu không lớn hơn căn bậc hai của A.

5. Phân biệt số nguyên và số thực: 

Tập số nguyên Z	Tập số thực R
Định nghĩa	Tập số nguyên gồm tập hợp các số 0, số tự nhiên (số nguyên dương) và số đối của chúng (số nguyên âm). Ký hiệu: Z	Số thực là những số không đếm được bao gồm tập hợp số nguyên, số hữu tỉ và số vô tỉ. Ký hiệu: R
Tính chất	Tập hợp các số nguyên là vô hạn và đếm được	Tập hợp các số thực là vô hạn và không đếm được.
Đặc điểm	Do bản chất tập số nguyên là vô hạn nên không tồn tại số nguyên dương lớn nhất và số nguyên âm nhỏ nhất. Ngược lại, chỉ tồn tại số nguyên dương nhỏ nhất và số nguyên âm lớn nhất (cận 0). Cụ thể, số nguyên âm lớn nhất là -1 và số nguyên dương nhỏ nhất là 1. Nếu xét trong một tập con hữu hạn của Z bất kỳ thì luôn có phần tử nhỏ nhất và phần tử lớn nhất. Khác với tập số học khác (như số hữu tỉ Q, số thực R), giữa 2 số nguyên liên tiếp sẽ không có bất kỳ số nguyên nào nằm giữa.	Số thực khác 0 bất kỳ sẽ là số dương hoặc số âm. Tổng và tích của 2 số thực không âm cũng sẽ là một số thực không âm. Có nhiều số thực hơn so với những phần tử trong tập hợp số đếm được bất kỳ. Có một hệ thống các tập hợp con vô hạn có thể đếm được của những số thực (số hữu tỉ, số nguyên, số đại số, số tính được). Phần bù của các số này (số siêu việt, số vô tỉ, số không tính được) trong số thực đều là tập hợp vô hạn không đếm được. Số thực có thể dùng để biểu thị kết quả đo lường đại lượng liên tục.

6. Bài tập vận dụng: 

Bài toán 1 : Tìm x nguyên biết.

a.      0 x 5

b.     0 ≤ x 4

c.   -1 x ≤ 4

d.   -2 x 2

e.   0 x – 1 ≤ 2

f.    3 ≤ x – 2 5

g.   0 ≤ x – 5 ≤ 2

h.   |x| 3

k.       |x + 1| ≤ 3

l.        2 ≤ |x – 5| 5

m.      (x – 3 ) là số không âm nhỏ hơn 4

n.       (x + 2) là số dương và không lơn hơn 5

o.       0 |x + 1| ≤ 3

p.       0 |x| 3

q.       -3 ≤ |x + 1| ≤ 3

r.        -2 ≤ |x – 5| ≤ 0

Bài toán 2 : Tính hợp lý.

a.      4567 + (1234 – 4567) -4

b.     2001 – (53 + 1579) – (-53)

c.      35 – 17 + 2017 – 35 + (-2017)

d.     37 + (-17) – 37 + 77

e.      –(-219) + (-219) – 401 + 12

f.       |-85| – (-3).15

g.     11.107 + 11.18 – 25.11

h.     115 – (-85) + 53 – (-500 + 53)

k.       (-18) + (-31) + 98 + |-18| + (-69)

l.        17. (15 – 16) + 16.(17 – 20)

m.      15.(-176) + 15.76 + 100.15

n.       79.89 – 79.(-11) – 100.79

o.       153.177 – 153.77 + 100.(-77)

p.       -69.|-45| – 31.|45|

q.       (-29).(85 – 47) – 85.(47 – 29)

r.        (-167).(67 – 34) – 67.(34 – 167)

Bài toán 3 : Tính

a.      (-35) : (-7)

b.     42 : (-21)

c.      55 : (-5)

d.     46 : (-23)

e.      – 30 : (-2)

f.       23 . (-4)

g.     15. (-3) .0

h.     -32. 14

k.       8.(-10).7.0

l.        -4.10.(-2)

m.      3.21.(-20)

n.       (-3). 5.8.(-10)

o.       9.12.(-3).5.7

p.       -3.5.(-6).2.10

q.       12.8.9.0.15

r.        0.12.(-9).35

Bài toán 4 : Tìm x, biêt.

a.      5x – 16 = 40 + x

b.     4x – 10 = 15 – x

c.      -12 + x = 5x – 20

d.     7x – 4 = 20 + 3x

e.      5x – 7 = – 21 – 2x

f.       x + 15 = 7 – 6x

g.     17 – x = 7 – 6x

h.     3x + (-21) = 12 – 8x

k.       125 : (3x – 13) = 25

l.        541 + (218 – x) = 735

m.      3(2x + 1) – 19 = 14

n.       175 – 5(x + 3) = 85

o.       4x – 40 = |-4| + 12

p.       x + 15 = 20 – 4x

q.       8x + |-3| = -4x + 39

r.        6(x – 2) + (-2) = 20 – 4x

Bài toán 5 : Tìm x, biết.

a.      2(x – 5) – 3(x + 7) = 14

b.     5(x – 6) – 2(x + 3) = 12

c.      3(x – 4) – (8 – x) = 12

d.     -7(3x – 5) + 2(7x – 14) = 28

e.      5(3 – 2x) + 5(x – 4) = 6 – 4x

f.       -5(2 – x) + 4(x – 3)  = 10x – 15

g.     2(4x – 8) – 7(3 + x) = |-4|(3 – 2)

h.     8(x – |-7|) – 6(x – 2) = |-8|.6 – 50

k.       -7(5 – x) – 2(x – 10) = 15

l.        4(x – 1) – 3(x – 2) = -|-5|

m.      -4(x + 1) + 89x – 3) = 24

n.       5(x – 30 – 2(x + 6) = 9

o.       -3(x – 5) + 6(x + 2) = 9

p.       7(x – 9) – 5(6 – x) = – 6 + 11x

q.       10(x – 7) – 8(x + 5) = 6.(-5) + 24

Bài toán 6: Tìm x thuộc Z để:

a.      1 : x là số nguyên

b.     1 : (x – 1) là số nguyên

c.      2 : x là số nguyên.

d.     -3 : (x – 2) là một số nguyên

e.      -5 : (x – 4) là một số nguyên

e.       (x + 8)   (x + 7)

f.        (2x – 9)   (x – 5)

g.       (5x + 2)   (x + 1)

h.       (2x + 16)   (x + 8)

k.       3x   (x + 2)

Bài toán 7 : Tính tổng các số nguyên x biết.

a.      -2 x 2

b.     -5 x 5

c.   -5 x ≤ 6

d.   |x| ≤ 5

f.        24 ≤ x ≤ 2017

g.       x chẵn và 6 ≤ x ≤ 202

h.       x lẻ và 7 x 2017

k.       12 x  2017 và x   5

Bài toán 8. Tính các tổng sau.

a) S = 1 – 2 + 3 – 4 + … + 2005 – 2006

b) S = 1 – 3 + 5 – 7 + … + 2001 – 2003

c) S = 2 – 4 + 6 – 8 + … + 2008 – 2010

Bài toán 9 : Tìm x, biết.

(x + 1) + (x + 2) + (x + 3) +…+ (x + 1000) = 5750